1. 何谓‘费马原理’
17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601——1665)。
这道题是这样的：当n>2时，x^n+y^n=z^n没有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。
2. 什么是费马定律
地震学中的费马原理：地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理：光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理对折射定律的证明
假设光从介质n_1入射到介质n_2。在两个介质的交界面上取一条直线�3�0为x轴，法线为y轴，建立直角坐标系�9�3在入射光线上任取一点A(x_1, y_1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x_2, y_2)。 AB之间的距离为\sqrt, BC之间的距离为\sqrt。 由费马原理可知，光从A点经过B点到辠C点，所用的时间t 应该是最短的。t=\left(\frac\right)(ABn_1+BCn_2), t 取最小值的条件是\frac=0。 经整理得 \frac = \frac, \sin\theta_1 = \frac 且 \sin\theta_2 = \frac 即 n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 (Snell's law)
是这玩意不？
3. 什么是费马数为什么叫费马数
叫费马质数或费马素数.法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:可以发现F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537F5=2^(2^5)+1=4294967297前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是质数.由此提出(费马没给出证明),形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想.后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数.1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^(2^6)+1=274177*67280421310721,不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至有人猜想：费马数N>4时，费马数全是合数!实际上几千年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.
4. 费马的生平是什么
费马(Fermat，1601．8．17一1665．1．12)是法国数学家，生于法国南部图卢兹(Toulouse)附近的波蒙•德•罗曼(Beaumont-de-Lomagne)。他的父亲多米尼客“费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业．使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此而获得了地方事务顾问的头衔。但费马小时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱•德•罗格，出身穿袍贵族。多米尼客的大富与罗格的大贵构筑了费马极富贵的身价。
费马小时候就教于他叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入波蒙一德一罗曼公学。毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。17世纪的法国，男子最讲究的职业是当律师，因此，男子学习法律成为时髦，也使人敬羡。
有趣的是，法国为那些有产的而缺少资历的“准律师”尽快成为律师创造了很好的条件。1523年，佛朗期瓦一世组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关，名叫“bureau des parties casuellcs”，公开出售官职。这种官职鬻卖的社会现象一经产生，便应时代的需要而一发不可收拾，且弥留今日。鬻卖官职，一方面迎合了那些富有者，使其获得官位从而提高社会地位，另一方面也常使政府的财政状况得以好转。因此，到了17世纪，除了宫廷官和军官以外的任何官职都可以买卖了。直到今日，法院的书记官、公证人、传达人等职务，仍没有完全摆脱买卖性质。法国的买官特产，使许多中产阶级从中受惠。费马也不例外。费马尚没有大学毕业，便在波蒙•德•罗曼买好了“律师”和“参议员”的职位。等到费马毕业返回家乡以后，他便很容易地当上了图卢兹议会的议员，时值1631年。
尽管费马从步入社会直到去世都没有失去官职，而且逐年得到提升。但是据记载，费马没有什么政绩，应付官场的能力极普通，也谈不上领导才能。不过，费马并未因此而中断升迁。在费马任了7年的地方议会议员之后，费马升任丁调查参议员。这个官职有权对行政当局进行调查和提出质疑。1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭。这使得费马以后得到了更好的升迁机会。1646年，费马升任议会首席发言人。以后还当过天主教联盟的主席等职。费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过，费马从不利用职权向人们勒索，从不受贿，为人敦厚，公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。
费马的婚姻使费马一跃而跻身于穿袍贵族的行列。费马娶了他的舅表妹露伊丝•德•罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。费马生有三女二男，除了大女儿克拉莱出嫁之外，四个子女都使费马而感到体面。两个女儿当牧师，次子当上了菲玛雷斯的副主教。尤其是长子克莱曼特•萨摩尔，他不仅继承了费马的公职，在1665年当上了律师，而且还整理了费马的数学论著。如果不是费马长子积极出版费马的数学论著，很难说，费马能对数学产生如此重大的影响，因为大部分论文都是在费马死后，由其长子负责发表的。从这个意义上说，萨摩尔也称得上是费马事业上的继承人。
对费马来说，真正的事业是学术，尤其是数学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语；而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。如此这些，可能为费马在数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。
费马生性内向，谦抑好静。不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。《数学论集》(Varia OPera mathematica)还是费马去世后，由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在l7世纪，这个问题也是突出的。费马的数学研究成果不爱及时发表，得不到传播和发展，并不是个人的名誉损失，而是影响了那个时代的数学前进的步伐。
费马一生身体健康，只是在1652年的瘟疫中险些丧命。1665年元旦一过，费马开始感到身体有变，因此于1月l0日停职。第三天，费马去世。费马被安葬在卡斯特雷斯(Castres)公墓。后来，改葬在图卢兹的家族墓地中。
费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌6他是解析几何的发明者之一；微积分的成就仅次于牛顿、莱布尼茨(G•W•Leibniz)的缔造者，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。费马对物理学也有重要贡献。一代数学大才，费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。
17世纪伊始，就预示了一个颇为壮观的数学前景。而事实上，这个世纪也正是数学史上一个辉煌的时代。几何学首先成了这一时代最引入注目的引玉之明珠。由于几何学的新方法——代数方法在几何学上的应用，直接导致了解析几何的诞生；射影几何作为一种崭新的方法开辟了新的领域；由古代的求积问题导致的极微分割方法引入几何学，使几何学产生了新的研究方向，并最终促进了微积分的发明。几何学的重新崛起是与一代勤于思考、富于创造的数学家是分不开的。费马就是其中的一位。
(一)对解析几何的贡献
费马独立于笛卡儿(R．Descartes)发现了解析几何的基本原理。
1629年以前，费马便着手重写公元前3世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯(APollonius)失传的《平面轨迹》。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学、尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有8页的论文《平面与立体轨迹引论》(Introdnction anx Lieux PLanes es Selides，“立体轨迹”指不能用尺规作出的曲线，和现代的用法不同)。费马于1636年与大数学家梅森(M．Mersenne)、罗贝瓦尔(G．P．RobervaI)开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作。而费马的工作却是开创性的。
《平面与立体轨迹引论》中，道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比笛卡尔发现解析几何基本原理(1637)还早7年。费马对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。
笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的。这正是解析几何的基本原则的两个相反的方面。
在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面。指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。
(二)对微积分的贡献
16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提，主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示，以致于在微积分领域，在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者，也会得到数学界的认可。
曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德(Archimedes)为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里(B．cavalieri)到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。
费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。
(三)对概率论的贡献
早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺(G．cardano)等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法国的帕斯卡(B．Psscal)和费马研究了意大利的帕乔里(L.Pacioli)的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。
费马考虑到4次赌博可能的结局有2•2•2•2＝16种，除了一种结局即4次赌博都让对手赢。其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是l 5／16，即有利情形数与所有可能情形数的比。在此很自然地假定所有的情形都为可能。这个条件在组合问题中一般均能满足，例如纸牌游戏，掷银子和从罐子里模球。其实，这项研究为概率的数学模型一概率空间的抽象奠定了博弈基础、尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈罗夫作出的。
费马和怕斯卡在相互通信中以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多4次就能决定胜负。
一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。
(四)对数论的贡献
17世纪初，欧洲流传着公元3世纪古希腊数学家丢番图(Diophantus)所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。
费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：
(1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。
(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。
(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。
(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。
（五）对光学的贡献
费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理，也叫最短时间作用原理。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时期，欧几里得就提出了光的直线传播定律相反射定律。后由海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线取最短路径。经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观念。—个更为一般的“大自然以最短捷的可能途径行动”的结论最终得出来，并影响了费马。费马的高明之处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。
费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是欧拉(L．Euler)，竞用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。这直接导致了拉格朗日的成就，给出了最小作用原理的具体形式：对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小。
5. 费马的生平
费玛（1601年8月20日～1665年1月12日）出生於一个皮革商的家庭，位在法国的 Toulouse 附近。他在 Toulouse 大学读法律，毕业后的正业是律师、宫庭顾问，并且在1631年成为 Toulouse 地区的议员。
在忙碌的正业之外，数学是他的业余嗜好。他利用空闲的时间研究数学，并且将所得的结果，寄给朋友，互相讨论，或保留著没有发表。他的稿件，在他死后由其儿子在1679年出版，这就是我们所知道的费玛的著作《Varia Opera》。
西方世界经历十五、十六世纪文艺复兴的蕴酿，在十七世纪初，正是各门学问突破之际。尤其是处在微积分要诞生，科学革命要发生的前夕，费玛在许多学问分支都扮演著开路先锋的关键性角色，他的主要贡献领域有：解析几何、微积分、机率论、光学以及数论。
解析几何：
费玛与笛卡儿 (Descartes) 两个人独立地发明解析几何，但是方向正好相反。费玛是由方程式出发，走向图形。他说：「当我们发现两个未知量的一个方程式，就可以探求它的图形，这不外是一条直线或曲线。」解析几何为往后微积分的诞生奠下良好的基础。
微积分：
费玛由求极值问题切入，不知不觉走到了微分法的门口。牛顿读到费玛的作品，如触电一般，从中提炼出真正的微分法。费玛也利用动态穷尽法求得许多积分，例如：
机率论：
有两个赌徒赌博，但赌到半途，有事必须终止赌局，但不知要如何才是公平地瓜分赌金。於是有人就去请教费玛，在1654年费玛和巴斯卡 (Pascal) 通信讨论，解决了这个问题，这就是著名的瓜分赌金问题。有些数学史家就把1654这一年与这件事，当作是机率论的起源。
光学：
费玛研究光学的折射现象，提出最短时间原理，由此推导出折射定律。这可以看作是变分学之始，后来一路发展到古典力学的 Hamilton 最小作用量原理，将力学统合在单一原理之下，美丽已极！
数论：
费玛最辉煌的成就在於数论。最重要的三个定理如下：
费玛的两平方和定理：
任何形如 4n+1 的质数都可以唯一表成两个平方数之和。
费玛小定理：
设 p 为一个质数并且 a 为一个整数。若 p 不可整除 a，则
费玛最后定理：
设 n 为大於 2 之整数，则方程式 xn + yn = zn 没有正整数解。
对於这个最后定理，费玛在他的书页中写道（约1637年）：
我发现了一个美妙的证明，但由於空白太小，而没有写下来。
就这样一句话，让后来的数学家忙碌了357年，也犯过许多错误，终於在1994年由 A. Wiles 提出正确的证明，终结了「这只会生金蛋的天鹅」。（Hilbert之语）
由於费玛对数学的重大贡献，后人尊称他为「业余数学家之王」，数学史家 E.T. Bell 称赞他为「大师中的大师」(A master of masters)，简直比数学家还要数学家！Toulouse 的市政厅还立有费玛与缪思女神 (Muse) 并坐在一起的铜像
6. 关于费马原理（光学）
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
7. 费马原理是什么
费马原理是几何光学中的一条重要原理,由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律,以及傍轴条件下透镜的等光程性等.光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理,该原理说,若光线在介质中沿某一路径传播,当光线反向时,必沿同一路径逆向传播 .费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径,不论光线正向传播还是逆向传播,必沿同一路径.因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性.光在任意介质中从一点传播到另一点时,沿所需时间最短的路径传播.
8. 费马为什么被人称为是民间科学家
皮埃尔·德·费马是17世纪的法国杰出数学家，他在数论、解析几何、概率论等方面都取得了辉煌的成就，他在数学方面的成就可以说超过了同时期任何一位法国数学家。他的费马大定理让后人忙了300多年，并创生出很多新的数学领域。
更让人钦佩的是，费马的本职工作是律师、议员，数学只是他的业余爱好。费马是业余数学家的王者，他有着“业余数学家”之王的称号。
费马很成功，但他采用的研究方法现在看起来也是不可取的。他虽然经常和当时的数学家保持着书信交流，但他不去发表论文，他喜欢做批注，著名的费马大定理就是后人在他给丢番图做的批注中找到的。
今天我们提到的很多民科，他们的民科称号不同于费马的民科称号。称他们为民科其实是对他们的一种客套，更贴切的称呼应该是“江湖科学爱好者”或者“科学妄想家”。他们往往没有接受过正规专业的教育，却妄想着解决了最前沿、最根本的科学问题。
9. 什么是费马数
伟大的科学家同样也会犯错误，科学史上这样的事件屡见不鲜。被举为“近代数论之父”、“业余数学家之王”的17世纪法国数学家费马就是其中一个，而且他所犯的错误又恰恰是在他最擅长的数论之中。
1640年，费马发现：设Fn=22n+1，则当n=0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，都是素数。这种素数被称为“费马数”。由于F5太大（F5=4294967297）他没有再进行验证就直接猜测：对于一切自然数n，Fn都是素数。不幸的是，他猜错了。1732年欧拉发现：F5=225+1=4294967297=6146700417，偏偏是一个合数！1880年，又有人发现F6=226+1=2747767280421310721，也是合数。
不仅如此，以后陆续发现F7，F8……直到F19以及许多n值很大的Fn全都是合数！虽然Fn的值随着n值的增加，以极快的速度变大（例如1980年求出F8=1238926361552897一个62位数），目前能判断它是素数还是合数的也只有几十个，但人们惊奇地发现：除费马当年给出的5个外，至今尚未发现新的素数。这一结果使人们反过来猜测：是否只有有限个费马数？是否除费马给出的5个素数外，再也没有了？可惜的是，这个问题至今还悬而未决，成了数学中的一个谜。
10. 费马原理
费马（Fermat）原理是地震波射线理论中的重要原理。它阐明在一般情况下波动沿一条运行时间最短的路径传播。这条路径正是垂直于波前面的路径，即射线路径。因此，费马原理从射线角度也可以说，波沿射线传播的时间最短。
严格地证明费马原理需要用到变分法，这儿可以利用泊松公式作一简单地证明。假设在t1 时刻波的扰动占据着由Q面包围的某个区域W （图1-3-4），要确定在W区域外面某一点M的波前到达时t。为此利用泊松公式，将M点作为中心，以逐渐增大的r为半径作许多同心球面，r＝r1，r2，…，rk，…，rn。对于小的球半径r1 来说，扰动尚未到达球面S1，故函数
图1-3-4 说明费马原理的示意图