1. 何謂『費馬原理』
17世紀的一位法國數學家，提出了一個數學難題，使得後來的數學家一籌莫展，這個人就是費馬(1601——1665)。
這道題是這樣的：當n>2時，x^n+y^n=z^n沒有正整數解。在數學上這稱為「費馬大定理」。為了獲得它的一個肯定的或者否定的證明，歷史上幾次懸賞徵求答案，一代又一代最優秀的數學家都曾研究過，即使用現代的電子計算機也只能證明：當n小於等於4100萬時，費馬大定理是正確的。由於當時費馬聲稱他已解決了這個問題，但是他沒有公布結果，於是留下了這個數學難題中少有的千古之謎。
2. 什麼是費馬定律
地震學中的費馬原理：地震波沿射線傳播的旅行時和沿其他路徑傳播的旅行時相比為最小，亦是波沿旅行時最小的路徑傳播。
光學中的費馬原理：光線在兩點間的實際路徑是使所需的傳播時間為極值的路徑。在大部分情況下，此極值為最小值，但有時為最大值，有時為恆定值。
費馬原理對折射定律的證明
假設光從介質n_1入射到介質n_2。在兩個介質的交界面上取一條直線�3�0為x軸，法線為y軸，建立直角坐標系�9�3在入射光線上任取一點A(x_1, y_1)，光線與兩介質交界面的交點為B(x, 0)，在折射光線上任取一點C(x_2, y_2)。 AB之間的距離為\sqrt, BC之間的距離為\sqrt。 由費馬原理可知，光從A點經過B點到辠C點，所用的時間t 應該是最短的。t=\left(\frac\right)(ABn_1+BCn_2), t 取最小值的條件是\frac=0。 經整理得 \frac = \frac, \sin\theta_1 = \frac 且 \sin\theta_2 = \frac 即 n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 (Snell's law)
是這玩意不？
3. 什麼是費馬數為什麼叫費馬數
叫費馬質數或費馬素數.法國數學家費馬於1640年提出了以下猜想:可以發現F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537F5=2^(2^5)+1=4294967297前4個是質數,因為第5個數實在太大了,費馬認為是質數.由此提出(費馬沒給出證明),形如Fn=2^(2^n)+1 的數都是質數的猜想.後來人們就把形如2^(2^n)+1的數叫費馬數.1732年,歐拉算出F5=641*6700417,不是質數,宣布了費馬的這個猜想不成立,它不能作為一個求質數的公式.以後,人們又陸續找到了不少反例,如n=6時,F6=2^(2^6)+1=274177*67280421310721,不是質數.至今這樣的反例共找到了46個,卻還沒有找到第6個正面的例子,也就是說目前只有n=0,1,2,3,4這5個情況下,Fn才是質數.甚至有人猜想：費馬數N>4時，費馬數全是合數!實際上幾千年來,數學家們一直在尋找這樣的一個公式,一個能求出所有質數的公式;但直到現在,誰也未能找到這樣一個公式,而且誰也未能找到證據,說這樣的公式就一定不存在;這樣的公式存不存在,也就成了一個著名的數學難題.
4. 費馬的生平是什麼
費馬(Fermat，1601．8．17一1665．1．12)是法國數學家，生於法國南部圖盧茲(Toulouse)附近的波蒙•德•羅曼(Beaumont-de-Lomagne)。他的父親多米尼客「費馬在當地開了一家大皮革商店，擁有相當豐厚的產業．使得費馬從小生活在富裕舒適的環境中。父親由於富有和經營有道，頗受人們尊敬，並因此而獲得了地方事務顧問的頭銜。但費馬小時候並沒有因為家境的富裕而產生多少優越感。費馬的母親名叫克拉萊•德•羅格，出身穿袍貴族。多米尼客的大富與羅格的大貴構築了費馬極富貴的身價。
費馬小時候就教於他叔叔皮埃爾，受到了良好的啟蒙教育，培養了他廣泛的興趣和愛好，對他的性格也產生了重要的影響。直到14歲時，費馬才進入波蒙一德一羅曼公學。畢業後先後在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律。17世紀的法國，男子最講究的職業是當律師，因此，男子學習法律成為時髦，也使人敬羨。
有趣的是，法國為那些有產的而缺少資歷的「准律師」盡快成為律師創造了很好的條件。1523年，佛朗期瓦一世組織成立了一個專門鬻賣官爵的機關，名叫「bureau des parties casuellcs」，公開出售官職。這種官職鬻賣的社會現象一經產生，便應時代的需要而一發不可收拾，且彌留今日。鬻賣官職，一方面迎合了那些富有者，使其獲得官位從而提高社會地位，另一方面也常使政府的財政狀況得以好轉。因此，到了17世紀，除了宮廷官和軍官以外的任何官職都可以買賣了。直到今日，法院的書記官、公證人、傳達人等職務，仍沒有完全擺脫買賣性質。法國的買官特產，使許多中產階級從中受惠。費馬也不例外。費馬尚沒有大學畢業，便在波蒙•德•羅曼買好了「律師」和「參議員」的職位。等到費馬畢業返回家鄉以後，他便很容易地當上了圖盧茲議會的議員，時值1631年。
盡管費馬從步入社會直到去世都沒有失去官職，而且逐年得到提升。但是據記載，費馬沒有什麼政績，應付官場的能力極普通，也談不上領導才能。不過，費馬並未因此而中斷升遷。在費馬任了7年的地方議會議員之後，費馬升任丁調查參議員。這個官職有權對行政當局進行調查和提出質疑。1642年，有一位權威人士叫勃里斯亞斯，他是最高法院顧問。勃里斯亞斯推薦費馬進入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭。這使得費馬以後得到了更好的升遷機會。1646年，費馬升任議會首席發言人。以後還當過天主教聯盟的主席等職。費馬的官場生涯沒有什麼突出政績值得稱道，不過，費馬從不利用職權向人們勒索，從不受賄，為人敦厚，公開廉明，贏得了人們的信任和稱贊。
費馬的婚姻使費馬一躍而躋身於穿袍貴族的行列。費馬娶了他的舅表妹露伊絲•德•羅格。原本就為母親的貴族血統而感驕傲的費馬，如今乾脆在自己的姓名上加上了貴族姓氏的標志「de」。費馬生有三女二男，除了大女兒克拉萊出嫁之外，四個子女都使費馬而感到體面。兩個女兒當牧師，次子當上了菲瑪雷斯的副主教。尤其是長子克萊曼特•薩摩爾，他不僅繼承了費馬的公職，在1665年當上了律師，而且還整理了費馬的數學論著。如果不是費馬長子積極出版費馬的數學論著，很難說，費馬能對數學產生如此重大的影響，因為大部分論文都是在費馬死後，由其長子負責發表的。從這個意義上說，薩摩爾也稱得上是費馬事業上的繼承人。
對費馬來說，真正的事業是學術，尤其是數學。費馬通曉法語、義大利語、西班牙語、拉丁語和希臘語；而且還頗有研究。語言方面的博學給費馬的數學研究提供了語言工具和便利，使他有能力學習和了解阿拉伯和義大利的代數以及古希臘的數學。如此這些，可能為費馬在數學上的造詣莫定了良好基礎。在數學上，費馬不僅可以在數學王國里自由馳騁，而且還可以站在數學天地之外鳥瞰數學。這也不能絕對歸於他的數學天賦，與他的博學多才多少也是有關系的。
費馬生性內向，謙抑好靜。不善推銷自己，不善展示自我。因此他生前極少發表自己的論著，連一部完整的著作也沒有出版。他發表的一些文章，也總是隱姓埋名。《數學論集》(Varia OPera mathematica)還是費馬去世後，由其長子將其筆記、批註及書信整理成書而出版的。我們現在早就認識到時間性對於科學的重要，即使在l7世紀，這個問題也是突出的。費馬的數學研究成果不愛及時發表，得不到傳播和發展，並不是個人的名譽損失，而是影響了那個時代的數學前進的步伐。
費馬一生身體健康，只是在1652年的瘟疫中險些喪命。1665年元旦一過，費馬開始感到身體有變，因此於1月l0日停職。第三天，費馬去世。費馬被安葬在卡斯特雷斯(Castres)公墓。後來，改葬在圖盧茲的家族墓地中。
費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業余之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵6他是解析幾何的發明者之一；微積分的成就僅次於牛頓、萊布尼茨(G•W•Leibniz)的締造者，概率論的主要創始人，以及獨承17世紀數論天地的人。費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學大才，費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家。
17世紀伊始，就預示了一個頗為壯觀的數學前景。而事實上，這個世紀也正是數學史上一個輝煌的時代。幾何學首先成了這一時代最引入注目的引玉之明珠。由於幾何學的新方法——代數方法在幾何學上的應用，直接導致了解析幾何的誕生；射影幾何作為一種嶄新的方法開辟了新的領域；由古代的求積問題導致的極微分割方法引入幾何學，使幾何學產生了新的研究方向，並最終促進了微積分的發明。幾何學的重新崛起是與一代勤於思考、富於創造的數學家是分不開的。費馬就是其中的一位。
(一)對解析幾何的貢獻
費馬獨立於笛卡兒(R．Descartes)發現了解析幾何的基本原理。
1629年以前，費馬便著手重寫公元前3世紀古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯(APollonius)失傳的《平面軌跡》。他用代數方法對阿波羅尼奧斯關於軌跡的一些失傳的證明作了補充，對古希臘幾何學、尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進行了總結和整理，對曲線作了一般研究。並於1630年用拉丁文撰寫了僅有8頁的論文《平面與立體軌跡引論》(Introdnction anx Lieux PLanes es Selides，「立體軌跡」指不能用尺規作出的曲線，和現代的用法不同)。費馬於1636年與大數學家梅森(M．Mersenne)、羅貝瓦爾(G．P．RobervaI)開始通信，對自己的數學工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費馬去世14年以後的事，因而1679年以前，很少有人了解到費馬的工作。而費馬的工作卻是開創性的。
《平面與立體軌跡引論》中，道出了費馬的發現。他指出：「兩個未知量決定的—個方程式，對應著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線。」費馬的發現比笛卡爾發現解析幾何基本原理(1637)還早7年。費馬對一般直線和圓的方程、以及關於雙曲線、橢圓、拋物線進行了討論。
笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的，而費馬則是從方程出發來研究軌跡的。這正是解析幾何的基本原則的兩個相反的方面。
在1643年的一封信里，費馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面。指出：含有三個未知量的方程表示一個曲面，並對此做了進一步地研究。
(二)對微積分的貢獻
16、17世紀，微積分是繼解析幾何之後的最璀璨的明珠。人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，並且在其之前，至少有數十位科學家為微積分的發明做了奠基性的工作。但在諸多先驅者當中，費馬仍然值得一提，主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現代形式最接近的啟示，以致於在微積分領域，在牛頓和萊布尼茨之後再加上費馬作為創立者，也會得到數學界的認可。
曲線的切線問題和函數的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項工作較為古老，最早可追溯到古希臘時期。阿基米德(Archimedes)為求出一條曲線所包任意圖形的面積，曾藉助於窮竭法。由於窮竭法繁瑣笨拙，後來漸漸被人遺忘、直到16世紀才又被重視。由於開普勒在探索行星運動規律時，遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長的問題，無窮大和無窮小的概念被引入並代替了繁瑣的窮竭法。盡管這種方法並不完善，但卻為自卡瓦列里(B．cavalieri)到費馬以來的數學家開辟廠一個十分廣闊的思考空間。
費馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。
(三)對概率論的貢獻
早在古希臘時期，偶然性與必然性及其關系問題便引起了眾多哲學家的興趣與爭論，但是對其有數學的描述和處理卻是15世紀以後的事。l6世紀早期，義大利出現了卡爾達諾(G．cardano)等數學家研究骰子中的博弈機會，在博弈的點中探求賭金的劃分問題。到了17世紀，法國的帕斯卡(B．Psscal)和費馬研究了義大利的帕喬里(L.Pacioli)的著作《摘要》，建立了通信聯系，從而建立了概率學的基礎。
費馬考慮到4次賭博可能的結局有2•2•2•2＝16種，除了一種結局即4次賭博都讓對手贏。其餘情況都是第一個賭徒獲勝。費馬此時還沒有使用概率一詞，但他卻得出了使第一個賭徒贏得概率是l 5／16，即有利情形數與所有可能情形數的比。在此很自然地假定所有的情形都為可能。這個條件在組合問題中一般均能滿足，例如紙牌游戲，擲銀子和從罐子里模球。其實，這項研究為概率的數學模型一概率空間的抽象奠定了博弈基礎、盡管這種總結是到了1933年才由柯爾莫戈羅夫作出的。
費馬和怕斯卡在相互通信中以及著作中建立了概率論的基本原則——數學期望的概念。這是從點的數學問題開始的：在一個被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個中斷的博弈中，如何確定賭金的劃分，已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數。費馬這樣做出了討論：一個博弈者A需要4分獲勝，博弈者B需要3分獲勝的情況，這是費馬對此種特殊情況的解。因為顯然最多4次就能決定勝負。
一般概率空間的概念，是人們對於概念的直觀想法的徹底公理化。從純數學觀點看，有限概率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機變數和數學期望時，它們就成為神奇的世界了。費馬的貢獻便在於此。
(四)對數論的貢獻
17世紀初，歐洲流傳著公元3世紀古希臘數學家丟番圖(Diophantus)所寫的《算術》一書。l621年費馬在巴黎買到此書，他利用業余時間對書中的不定方程進行了深入研究。費馬將不定方程的研究限制在整數范圍內，從而開始了數論這門數學分支。
費馬在數論領域中的成果是巨大的，其中主要有：
(1)全部素數可分為4n+1和4n+3兩種形式。
(2)形如4n+1的素數能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個平方數之和。
(3)沒有一個形如4n+3的素數，能表示為兩個平方數之和。
(4)形如4n+1的素數能夠且只能夠作為一個直角邊為整數的直角三角形的斜邊；4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊；類似地，4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。
(5)邊長為有理數的直角三角形的面積不可能是一個平方數。
(6)4n+1形的素數與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數之和；它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數之和；5次和6次方都只能以3種方式表達為兩個平方數之和，以此類推，直至無窮。
（五）對光學的貢獻
費馬在光學中突出的貢獻是提出最小作用原理，也叫最短時間作用原理。這個原理的提出源遠流長。早在古希臘時期，歐幾里得就提出了光的直線傳播定律相反射定律。後由海倫揭示了這兩個定律的理論實質——光線取最短路徑。經過若干年後，這個定律逐漸被擴展成自然法則，並進而成為一種哲學觀念。—個更為一般的「大自然以最短捷的可能途徑行動」的結論最終得出來，並影響了費馬。費馬的高明之處則在於變這種的哲學的觀念為科學理論。
費馬同時討論了光在逐點變化的介質中行徑時，其路徑取極小的曲線的情形。並用最小作用原理解釋了一些問題。這給許多數學家以很大的鼓舞。尤其是歐拉(L．Euler)，競用變分法技巧把這個原理用於求函數的極值。這直接導致了拉格朗日的成就，給出了最小作用原理的具體形式：對一個質點而言，其質量、速度和兩個固定點之間的距離的乘積之積分是一個極大值和極小值；即對該質點所取的實際路徑來說，必須是極大或極小。
5. 費馬的生平
費瑪（1601年8月20日～1665年1月12日）出生於一個皮革商的家庭，位在法國的 Toulouse 附近。他在 Toulouse 大學讀法律，畢業後的正業是律師、宮庭顧問，並且在1631年成為 Toulouse 地區的議員。
在忙碌的正業之外，數學是他的業余嗜好。他利用空閑的時間研究數學，並且將所得的結果，寄給朋友，互相討論，或保留著沒有發表。他的稿件，在他死後由其兒子在1679年出版，這就是我們所知道的費瑪的著作《Varia Opera》。
西方世界經歷十五、十六世紀文藝復興的蘊釀，在十七世紀初，正是各門學問突破之際。尤其是處在微積分要誕生，科學革命要發生的前夕，費瑪在許多學問分支都扮演著開路先鋒的關鍵性角色，他的主要貢獻領域有：解析幾何、微積分、機率論、光學以及數論。
解析幾何：
費瑪與笛卡兒 (Descartes) 兩個人獨立地發明解析幾何，但是方向正好相反。費瑪是由方程式出發，走向圖形。他說：「當我們發現兩個未知量的一個方程式，就可以探求它的圖形，這不外是一條直線或曲線。」解析幾何為往後微積分的誕生奠下良好的基礎。
微積分：
費瑪由求極值問題切入，不知不覺走到了微分法的門口。牛頓讀到費瑪的作品，如觸電一般，從中提煉出真正的微分法。費瑪也利用動態窮盡法求得許多積分，例如：
機率論：
有兩個賭徒賭博，但賭到半途，有事必須終止賭局，但不知要如何才是公平地瓜分賭金。於是有人就去請教費瑪，在1654年費瑪和巴斯卡 (Pascal) 通信討論，解決了這個問題，這就是著名的瓜分賭金問題。有些數學史家就把1654這一年與這件事，當作是機率論的起源。
光學：
費瑪研究光學的折射現象，提出最短時間原理，由此推導出折射定律。這可以看作是變分學之始，後來一路發展到古典力學的 Hamilton 最小作用量原理，將力學統合在單一原理之下，美麗已極！
數論：
費瑪最輝煌的成就在於數論。最重要的三個定理如下：
費瑪的兩平方和定理：
任何形如 4n+1 的質數都可以唯一表成兩個平方數之和。
費瑪小定理：
設 p 為一個質數並且 a 為一個整數。若 p 不可整除 a，則
費瑪最後定理：
設 n 為大於 2 之整數，則方程式 xn + yn = zn 沒有正整數解。
對於這個最後定理，費瑪在他的書頁中寫道（約1637年）：
我發現了一個美妙的證明，但由於空白太小，而沒有寫下來。
就這樣一句話，讓後來的數學家忙碌了357年，也犯過許多錯誤，終於在1994年由 A. Wiles 提出正確的證明，終結了「這只會生金蛋的天鵝」。（Hilbert之語）
由於費瑪對數學的重大貢獻，後人尊稱他為「業余數學家之王」，數學史家 E.T. Bell 稱贊他為「大師中的大師」(A master of masters)，簡直比數學家還要數學家！Toulouse 的市政廳還立有費瑪與繆思女神 (Muse) 並坐在一起的銅像
6. 關於費馬原理（光學）
費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，由此原理可證明光在均勻介質中傳播時遵從的直線傳播定律、反射和折射定律，以及傍軸條件下透鏡的等光程性等。光的可逆性原理是幾何光學中的一條普遍原理，該原理說，若光線在介質中沿某一路徑傳播，當光線反向時，必沿同一路徑逆向傳播 。費馬原理規定了光線傳播的唯一可實現的路徑，不論光線正向傳播還是逆向傳播，必沿同一路徑。因而藉助於費馬原理可說明光的可逆性原理的正確性。光在任意介質中從一點傳播到另一點時，沿所需時間最短的路徑傳播。
7. 費馬原理是什麼
費馬原理是幾何光學中的一條重要原理,由此原理可證明光在均勻介質中傳播時遵從的直線傳播定律、反射和折射定律,以及傍軸條件下透鏡的等光程性等.光的可逆性原理是幾何光學中的一條普遍原理,該原理說,若光線在介質中沿某一路徑傳播,當光線反向時,必沿同一路徑逆向傳播 .費馬原理規定了光線傳播的唯一可實現的路徑,不論光線正向傳播還是逆向傳播,必沿同一路徑.因而藉助於費馬原理可說明光的可逆性原理的正確性.光在任意介質中從一點傳播到另一點時,沿所需時間最短的路徑傳播.
8. 費馬為什麼被人稱為是民間科學家
皮埃爾·德·費馬是17世紀的法國傑出數學家，他在數論、解析幾何、概率論等方面都取得了輝煌的成就，他在數學方面的成就可以說超過了同時期任何一位法國數學家。他的費馬大定理讓後人忙了300多年，並創生出很多新的數學領域。
更讓人欽佩的是，費馬的本職工作是律師、議員，數學只是他的業余愛好。費馬是業余數學家的王者，他有著「業余數學家」之王的稱號。
費馬很成功，但他採用的研究方法現在看起來也是不可取的。他雖然經常和當時的數學家保持著書信交流，但他不去發表論文，他喜歡做批註，著名的費馬大定理就是後人在他給丟番圖做的批註中找到的。
今天我們提到的很多民科，他們的民科稱號不同於費馬的民科稱號。稱他們為民科其實是對他們的一種客套，更貼切的稱呼應該是「江湖科學愛好者」或者「科學妄想家」。他們往往沒有接受過正規專業的教育，卻妄想著解決了最前沿、最根本的科學問題。
9. 什麼是費馬數
偉大的科學家同樣也會犯錯誤，科學史上這樣的事件屢見不鮮。被舉為「近代數論之父」、「業余數學家之王」的17世紀法國數學家費馬就是其中一個，而且他所犯的錯誤又恰恰是在他最擅長的數論之中。
1640年，費馬發現：設Fn=22n+1，則當n=0，1，2，3，4時，Fn分別給出3，5，17，257，65537，都是素數。這種素數被稱為「費馬數」。由於F5太大（F5=4294967297）他沒有再進行驗證就直接猜測：對於一切自然數n，Fn都是素數。不幸的是，他猜錯了。1732年歐拉發現：F5=225+1=4294967297=6146700417，偏偏是一個合數！1880年，又有人發現F6=226+1=2747767280421310721，也是合數。
不僅如此，以後陸續發現F7，F8……直到F19以及許多n值很大的Fn全都是合數！雖然Fn的值隨著n值的增加，以極快的速度變大（例如1980年求出F8=1238926361552897一個62位數），目前能判斷它是素數還是合數的也只有幾十個，但人們驚奇地發現：除費馬當年給出的5個外，至今尚未發現新的素數。這一結果使人們反過來猜測：是否只有有限個費馬數？是否除費馬給出的5個素數外，再也沒有了？可惜的是，這個問題至今還懸而未決，成了數學中的一個謎。
10. 費馬原理
費馬（Fermat）原理是地震波射線理論中的重要原理。它闡明在一般情況下波動沿一條運行時間最短的路徑傳播。這條路徑正是垂直於波前面的路徑，即射線路徑。因此，費馬原理從射線角度也可以說，波沿射線傳播的時間最短。
嚴格地證明費馬原理需要用到變分法，這兒可以利用泊松公式作一簡單地證明。假設在t1 時刻波的擾動占據著由Q麵包圍的某個區域W （圖1-3-4），要確定在W區域外面某一點M的波前到達時t。為此利用泊松公式，將M點作為中心，以逐漸增大的r為半徑作許多同心球面，r＝r1，r2，…，rk，…，rn。對於小的球半徑r1 來說，擾動尚未到達球面S1，故函數
圖1-3-4 說明費馬原理的示意圖